PRACTICA II BÁSICA SECUNDARIA - Grupo 2
El curso de Práctica II: básica secundaria (6°-9°) permite a los docentes en formación del programa de Licenciatura en Ciencias Naturales y Educación Ambiental del IDEAD, continuar realizando observaciones del contexto educativo esta vez teniendo en cuenta elementos como la descripción del aula a través de una mirada reflexiva de los grados de básica secundaria 6°-9°, así como la contextualización y reconocimiento de la I.E.
CALCULO - Grupo 1
TALLER: 3 y 4
Pendiente de la curva en un punto, La derivada. Definición. Calculo de la derivada, aplicación de la definición de derivada. Propiedades de las derivadas. 4.-Técnicas de derivación: Producto, cociente, potencia, función compuesta, funciones trascendentes. Derivadas de orden superior.
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibniz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Aplicación física de la derivada. Ejemplo: La ecuación de un movimiento es , E(t)= t^2-6t+9 calcula la velocidad en el instante t =5.
Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a)
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1? Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
Aplicando el concepto de límite hallar la derivada de la siguiente función:
1) y = x2 +x+5 2) y=(3x+2)(2x-5) 3)y= (3x-5)/(2x+4) 4) y= cos x
5) f(x)= x^3 6) f(x)= √x 7) f(x)= 1/(x+1) 8) f(x)=∛(2x+3)
Tasa de variación media. Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M(a,b)=(f(b)-f(a))/(b-a)
Ejemplo: Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2
T.V.M(0,2)=([3-(2)^2 ]-[3-(0)^2])/(2-0)=(-1-3)/2=(-4)/2=-2
2. Tasa de variación instantánea. La derivada Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería. V.M.=(f(a+h)-f(a))/h
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:
lim┬(h→0)〖V.M=lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗 〗=f^' (a)=derivada de f
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por f^' (a), por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
f´(a)=lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Proposición. Toda. función derivable en un punto a es continua en dicho punto. El recíproco es falso. Ejemplo: f(x)=|x| es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Hallar la tasa de variación instantánea de la función f(x)= 3-x2 para x=1
Utilizamos la derivada como la variación de una función en un punto concreto, o en un instante de tiempo, por eso se considera h como un incremento muy pequeño. Ejemplos de uso en el cálculo de la velocidad y de la aceleración instantánea.
9) Hallar la tasa de variación media de la función f(x)=x^2+1 en el intervalo [0; 3] y la tasa de variación instantánea en el punto x=2.
10) Hallar la tasa de variación media de la función para f(x)=2x^2-3x+2 en el intervalo [0,2] y la tasa de variación instantánea en x = 1.
11) Un automóvil se mueve a lo largo de una autopista recta; Su posición (en km) en el intervalo de tiempo [2,5] está dado por la función S(t)= 3t2-5t+1, para 2 ≤ t ≤ 5. Verificar que en algún t dentro [2,5] la velocidad media del automóvil es igual a su velocidad instantánea.
12) En los siguientes ejercicios, una partícula se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo que con la ecuación de movimiento dada, donde S(m) es la distancia dirigida de la partícula desde un punto O en t(seg). Encontrar la velocidad instantánea v(t1) m/seg en t1(seg); y luego encontrar v(t1) para el valor particular dado de t1.
13) S=3t^2+1;t_1=3 14) S=8-t^2; t_1=5 15) S= √(t+1 ) t_1=3
16) S= 1/4t; t_1=1/2 17) S= 2/√(5t+6) 〖;t〗_1=2 18) S= ∛(t+2);t_1=6
19.- Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba, y está a s p sobre el suelo t seg después de ser encendido, donde S=560t-16t2 y la dirección positiva es hacia arriba. Encontrar (a) la velocidad del cohete 2 seg después de haber sido encendido, y (b) ¿Cuánto tarda el cohete alcanzar su altura máxima?
FORMULAS DE LAS DERIVADAS FUNDAMENTALES
1.y=k →y´=0 2.y=u^n →y´=nu^(n-1) u´ 3.y=u.v.w→y´=u´.v.w+u.v´.w+u.v.w´ 4. y=u/v= u.v^(-1)→y´=(u´.v-u.v´)/v^2 5.y=√(n&u)=u^(1⁄n)→y´=1/(n√(n&u^(n-1) )).u´ 6.y=ln|u|→y´=(u´)/u 7.y=〖log〗_au →y´= u´.1/u.〖log〗_au 8.y=e^u →y´=u´e^u 9.y=k^u→y´=u´.k^u lnk 10.y=sen u →y´=u´.sen u 11.y=cos u→y´=-u´.senu 12. y=tan〖u →y´=u´.〖sec〗^2 u〗
13. y=〖sen〗^(-1) u=arc sen u/a →y´=(u´)/√(2&a^2-u^2 ) 14.y=〖cos〗^(-1) u/a→y´=-(u´)/√(2&a^2-u^2 )
15.y=arc tan〖u/a〗 →y´=(u´)/(a^2+u^2 ) 16.y=sen h u →y´=u´cos〖h u 〗 17.y=cos〖h u →y´=u´sen h u〗 18.y=tan〖h u →y´=u´〖sec〗^2 u〗 19.f implicita (dF(x,y))/dx=-((dF(x,y))/dx)/((dF(x,y))/dy) 20.regla de la cadena dy/dx=dy/du.du/dx
21.derivdas parciales si U(x,y,z)→dU(x,y,z)/δxδyδz=δU(x,y,z)/δx+δU(x,y,z)/δy+δU(x,y,z)/δz
Calcular la derivada de:
20) y= 5x^2 +7x-6 21)y= 3x^3-8x+9 22) y= (4x^2-3x+5)(7x^3-8x+9)
23) y=(10x-8x^(-1)+9)(3x^2-9x^(-5)-2x^(-3) ) 24) y= (7x^2-2x+4)(8x^5-5x-1)(4x^7-15x+1)
25) y=(3x^2-1)(4x^2+3)(7x^2-1) 26) y=(6x^2-6x+1)^5 (7x+3x^2-3)^4 (2x^2+8x+9)^2
27) y=(4x^2 +7x-6)/(7x^3-8x) 28) y= (5x^2 +7x-6)/( 3x^3-8x+9) 29) y= ((6x^2-6x+1)^5 (7x+3x^2-3)^4)/(2x^2+8x+9)^2 30) y=(7x^2-2x+4)(8x^5-5x-1)(4x^7-15x+1)/(10x-8x^(-1)+9)(3x^2-9x^(-5)-2x^(-3) )
31) y=√(2x+4) 32) y=∛(3x+7x^2 ) 33) y.=∜(8x-2) 34) √(5&81x-3x^2 ) √(7x^2+4) 35) y=∛(3x+7x^2 )/∜(8x-5x)
36) y=e^5x 37) y=e^(3x-7) 38) y=e^(3x/(5-4x^2 )) 39) y=5^10x 40) y= 7^(3x-9) 41) 〖23〗^(7x/(8-3x^2 )) 42) y= e^(3x-7)/(6x^2-6x+1)^5
43) (x^2+5^10x )(7^(3x-9)-9x^3 ) 44) y=√(2&〖23〗^(7x/(8-3x^2 )) ) 45) y=ln|8x^3-8x+9| 46) y=ln|4x^5-9x^2+3 |
47) y=ln (3x+7x^2)/(81x-3x^2 ) 48).y=log|5x^2 +7x-16| 49) y=log(6x^2-6x+1)^5 (7x+3x^2-3)^4 (2x^2+8x+9)^2
50) log|((10x-8x^(-1)+9))/∛(3x+7x^2 )| 51) y=(e^(3x-7)+7)(ln (3x+7x^2)/(81x-3x^2 )) 52) y=(log(6x^2-6x+1)^5 )(5x+7^(3x-9) )(5x^2 +7x)
53)y=3sen 4x 54) y=7 cos5x 55) y=7 tan8x 56) y=3cos5x^2-3 tan〖4x^3-5senx^9+e^(3x-7) 〗
57) y=7 cos5x 58) y=7 tan〖3x^2 〗 59) y=4 cos〖-8x〗 60)y= 1⁄7 sen 15x^3 61) y=2tan6x
62) y=(5x^2+3sen 4x)(7x^4+2tan6x) 63) y= (tanx^2+5^10x )(7^(3x-9)-9senx^3 )(7cosx^2-5e^sen2x )
64) y=(5sen 4x-e^(3x-7))/(7 tan〖3x^2 〗+ln|8x^3-8x+9| ) 65) y= ∛((5x^2+7^(3x-9))/(3 cos〖-8x〗+e^(3x/(5-4x^2 )) )) 66) y=3sen^(-1) 2x 67) y=7cos^(-1) 5x^3
68) y=〖xtan^(-1) x〗^2 69) y=(7x^2+3)^sen2x (4x+5)^tan3x
70) y=(3sen 4x+8)(5-3sen^(-1) 2x)(7-〖tan^(-1) x〗^2 )(log(6x^2-6x)^5 )
En los ejercicios siguientes encontrar D_x y por diferenciación implícita:
71) x^2-3xy+y^2=16 72) 2x^3+3xy^2-7xy=5 73) 5x^2+9y^2=8xy 74) x^2=(7x+2y)/(3x-2y) 75) 1/x+1/y=1
76) √x+√y=4 77) (x+y)^2-(x-y)^2=x^3+y^3 78) y√(2+3x)+x√(1+y)=x
En los ejercicios siguientes encontrar la derivada usando la regla de la cadena:
79) u=x^2-y^2;x=3r-s;y=r+2s,∂u/∂r y δu/δs 80) u=e^(y⁄x);x=2rcost;y=4rsent;∂u/∂r y δu/δt
81) u=3x^2+xy-2y^2+3x-y;x=2r-3s;y=r+s;∂u/∂r y δu/δs
82) u=x^2+y^2;x=cos〖hrcos t;y=sen hr senh t;〗 ∂u/∂r y δu/δt
83) u=xe^(-y);x=tan^(-1) (rst);y=ln|3rs+5st|;δu/δs;∂u/∂r y δu/δt
ESPECIALISTA: JORGE HERNANDO MÉNDEZ MORALES
jhmendezm@ut.edu.co
Pendiente de la curva en un punto, La derivada. Definición. Calculo de la derivada, aplicación de la definición de derivada. Propiedades de las derivadas. 4.-Técnicas de derivación: Producto, cociente, potencia, función compuesta, funciones trascendentes. Derivadas de orden superior.
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibniz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Aplicación física de la derivada. Ejemplo: La ecuación de un movimiento es , E(t)= t^2-6t+9 calcula la velocidad en el instante t =5.
Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a)
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1? Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
Aplicando el concepto de límite hallar la derivada de la siguiente función:
1) y = x2 +x+5 2) y=(3x+2)(2x-5) 3)y= (3x-5)/(2x+4) 4) y= cos x
5) f(x)= x^3 6) f(x)= √x 7) f(x)= 1/(x+1) 8) f(x)=∛(2x+3)
Tasa de variación media. Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M(a,b)=(f(b)-f(a))/(b-a)
Ejemplo: Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2
T.V.M(0,2)=([3-(2)^2 ]-[3-(0)^2])/(2-0)=(-1-3)/2=(-4)/2=-2
2. Tasa de variación instantánea. La derivada Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería. V.M.=(f(a+h)-f(a))/h
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:
lim┬(h→0)〖V.M=lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗 〗=f^' (a)=derivada de f
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por f^' (a), por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
f´(a)=lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Proposición. Toda. función derivable en un punto a es continua en dicho punto. El recíproco es falso. Ejemplo: f(x)=|x| es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Hallar la tasa de variación instantánea de la función f(x)= 3-x2 para x=1
Utilizamos la derivada como la variación de una función en un punto concreto, o en un instante de tiempo, por eso se considera h como un incremento muy pequeño. Ejemplos de uso en el cálculo de la velocidad y de la aceleración instantánea.
9) Hallar la tasa de variación media de la función f(x)=x^2+1 en el intervalo [0; 3] y la tasa de variación instantánea en el punto x=2.
10) Hallar la tasa de variación media de la función para f(x)=2x^2-3x+2 en el intervalo [0,2] y la tasa de variación instantánea en x = 1.
11) Un automóvil se mueve a lo largo de una autopista recta; Su posición (en km) en el intervalo de tiempo [2,5] está dado por la función S(t)= 3t2-5t+1, para 2 ≤ t ≤ 5. Verificar que en algún t dentro [2,5] la velocidad media del automóvil es igual a su velocidad instantánea.
12) En los siguientes ejercicios, una partícula se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo que con la ecuación de movimiento dada, donde S(m) es la distancia dirigida de la partícula desde un punto O en t(seg). Encontrar la velocidad instantánea v(t1) m/seg en t1(seg); y luego encontrar v(t1) para el valor particular dado de t1.
13) S=3t^2+1;t_1=3 14) S=8-t^2; t_1=5 15) S= √(t+1 ) t_1=3
16) S= 1/4t; t_1=1/2 17) S= 2/√(5t+6) 〖;t〗_1=2 18) S= ∛(t+2);t_1=6
19.- Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba, y está a s p sobre el suelo t seg después de ser encendido, donde S=560t-16t2 y la dirección positiva es hacia arriba. Encontrar (a) la velocidad del cohete 2 seg después de haber sido encendido, y (b) ¿Cuánto tarda el cohete alcanzar su altura máxima?
FORMULAS DE LAS DERIVADAS FUNDAMENTALES
1.y=k →y´=0 2.y=u^n →y´=nu^(n-1) u´ 3.y=u.v.w→y´=u´.v.w+u.v´.w+u.v.w´ 4. y=u/v= u.v^(-1)→y´=(u´.v-u.v´)/v^2 5.y=√(n&u)=u^(1⁄n)→y´=1/(n√(n&u^(n-1) )).u´ 6.y=ln|u|→y´=(u´)/u 7.y=〖log〗_au →y´= u´.1/u.〖log〗_au 8.y=e^u →y´=u´e^u 9.y=k^u→y´=u´.k^u lnk 10.y=sen u →y´=u´.sen u 11.y=cos u→y´=-u´.senu 12. y=tan〖u →y´=u´.〖sec〗^2 u〗
13. y=〖sen〗^(-1) u=arc sen u/a →y´=(u´)/√(2&a^2-u^2 ) 14.y=〖cos〗^(-1) u/a→y´=-(u´)/√(2&a^2-u^2 )
15.y=arc tan〖u/a〗 →y´=(u´)/(a^2+u^2 ) 16.y=sen h u →y´=u´cos〖h u 〗 17.y=cos〖h u →y´=u´sen h u〗 18.y=tan〖h u →y´=u´〖sec〗^2 u〗 19.f implicita (dF(x,y))/dx=-((dF(x,y))/dx)/((dF(x,y))/dy) 20.regla de la cadena dy/dx=dy/du.du/dx
21.derivdas parciales si U(x,y,z)→dU(x,y,z)/δxδyδz=δU(x,y,z)/δx+δU(x,y,z)/δy+δU(x,y,z)/δz
Calcular la derivada de:
20) y= 5x^2 +7x-6 21)y= 3x^3-8x+9 22) y= (4x^2-3x+5)(7x^3-8x+9)
23) y=(10x-8x^(-1)+9)(3x^2-9x^(-5)-2x^(-3) ) 24) y= (7x^2-2x+4)(8x^5-5x-1)(4x^7-15x+1)
25) y=(3x^2-1)(4x^2+3)(7x^2-1) 26) y=(6x^2-6x+1)^5 (7x+3x^2-3)^4 (2x^2+8x+9)^2
27) y=(4x^2 +7x-6)/(7x^3-8x) 28) y= (5x^2 +7x-6)/( 3x^3-8x+9) 29) y= ((6x^2-6x+1)^5 (7x+3x^2-3)^4)/(2x^2+8x+9)^2 30) y=(7x^2-2x+4)(8x^5-5x-1)(4x^7-15x+1)/(10x-8x^(-1)+9)(3x^2-9x^(-5)-2x^(-3) )
31) y=√(2x+4) 32) y=∛(3x+7x^2 ) 33) y.=∜(8x-2) 34) √(5&81x-3x^2 ) √(7x^2+4) 35) y=∛(3x+7x^2 )/∜(8x-5x)
36) y=e^5x 37) y=e^(3x-7) 38) y=e^(3x/(5-4x^2 )) 39) y=5^10x 40) y= 7^(3x-9) 41) 〖23〗^(7x/(8-3x^2 )) 42) y= e^(3x-7)/(6x^2-6x+1)^5
43) (x^2+5^10x )(7^(3x-9)-9x^3 ) 44) y=√(2&〖23〗^(7x/(8-3x^2 )) ) 45) y=ln|8x^3-8x+9| 46) y=ln|4x^5-9x^2+3 |
47) y=ln (3x+7x^2)/(81x-3x^2 ) 48).y=log|5x^2 +7x-16| 49) y=log(6x^2-6x+1)^5 (7x+3x^2-3)^4 (2x^2+8x+9)^2
50) log|((10x-8x^(-1)+9))/∛(3x+7x^2 )| 51) y=(e^(3x-7)+7)(ln (3x+7x^2)/(81x-3x^2 )) 52) y=(log(6x^2-6x+1)^5 )(5x+7^(3x-9) )(5x^2 +7x)
53)y=3sen 4x 54) y=7 cos5x 55) y=7 tan8x 56) y=3cos5x^2-3 tan〖4x^3-5senx^9+e^(3x-7) 〗
57) y=7 cos5x 58) y=7 tan〖3x^2 〗 59) y=4 cos〖-8x〗 60)y= 1⁄7 sen 15x^3 61) y=2tan6x
62) y=(5x^2+3sen 4x)(7x^4+2tan6x) 63) y= (tanx^2+5^10x )(7^(3x-9)-9senx^3 )(7cosx^2-5e^sen2x )
64) y=(5sen 4x-e^(3x-7))/(7 tan〖3x^2 〗+ln|8x^3-8x+9| ) 65) y= ∛((5x^2+7^(3x-9))/(3 cos〖-8x〗+e^(3x/(5-4x^2 )) )) 66) y=3sen^(-1) 2x 67) y=7cos^(-1) 5x^3
68) y=〖xtan^(-1) x〗^2 69) y=(7x^2+3)^sen2x (4x+5)^tan3x
70) y=(3sen 4x+8)(5-3sen^(-1) 2x)(7-〖tan^(-1) x〗^2 )(log(6x^2-6x)^5 )
En los ejercicios siguientes encontrar D_x y por diferenciación implícita:
71) x^2-3xy+y^2=16 72) 2x^3+3xy^2-7xy=5 73) 5x^2+9y^2=8xy 74) x^2=(7x+2y)/(3x-2y) 75) 1/x+1/y=1
76) √x+√y=4 77) (x+y)^2-(x-y)^2=x^3+y^3 78) y√(2+3x)+x√(1+y)=x
En los ejercicios siguientes encontrar la derivada usando la regla de la cadena:
79) u=x^2-y^2;x=3r-s;y=r+2s,∂u/∂r y δu/δs 80) u=e^(y⁄x);x=2rcost;y=4rsent;∂u/∂r y δu/δt
81) u=3x^2+xy-2y^2+3x-y;x=2r-3s;y=r+s;∂u/∂r y δu/δs
82) u=x^2+y^2;x=cos〖hrcos t;y=sen hr senh t;〗 ∂u/∂r y δu/δt
83) u=xe^(-y);x=tan^(-1) (rst);y=ln|3rs+5st|;δu/δs;∂u/∂r y δu/δt
ESPECIALISTA: JORGE HERNANDO MÉNDEZ MORALES
jhmendezm@ut.edu.co